English Abstract: Worldpopulation
Based on the improved logistic equation
dy/dt=k*((a+y)*(m-y))^3 ................ (1)
in order to allow hyperbolic growth (instead of exponential growth dy/dt=k*y*(m-y), which is restricted to beings without thinking like microbes) worldpopulation growth is calculated by curve fitting using the Nelder-Mead method to minimize the Error Function Sum of (tcalc-t)^2. t is time in years. - Equation (1) is integrated in the form t(y) = to + f(y). This equation cannot be solved for y(t)=yo + f(t), as integration results in:
t= to +rk*(6*(a+m)^-5*LN((a+y)/(m-y)) + 3*(a+m)^-4*(1/(m-y)-1/(a+y)) +1/2*(a+m)^-3*((m-y)^-2 -(a+y)^-2)) ............... (2)
Published figures for y=worldpopulation/10^9 between 1800 and 2011: y=1;2;3;4;5;6 and 7 are used, to find the parameters a, m, rk=1/k and the integration constant "to". Results are:
a = 0,0125092
to = 1993,04
rk = 292349
m = 10,9035
The parameter m is the model limit to which y can grow asymptotically. This can be interpreted as maximum population load the world can afford. This can be seen in the resulting diagram as follows:
______ End of Abstract ______
The following text is in German language. It deals with the development of the model in chapters 1 to 3. Chapter 4 deals with the data base from 1800 until 2011. The diagrams of chapter 4 are in English Language.
1. Das Wachstum der Weltbevölkerung
Vorbemerkung: Das Wachstum der Weltbeölkerung seit dem evolutionären Erscheinen des Homo sapiens sapiens vor schätzungsweise 120 000 Jahren bis heute wird zur Überraschung der Demografen durch den Ansatz dy/dt=(a+b*y^2)*(m-y)^2 schon ziemlich genau wiedergegeben. Die Parameter a, b und m wurden durch eine Fehlerausgleichsrechnung an bekannte Weltbevölkerungszahlen y zu verschiedenen Zeiten t angepasst, wie in folgendem Bild gezeigt.
Die Bedeutung der Parameter:
a steht für den Beginn, die Evolution der Vormenschen, aber in der Folgezeit auch mit entsprechend geringerem Einfluß für die weitere Veränderung des menschlichen Genoms [6], b ist der Faktor des hyperbolischen [1], [4], [5] Wachstums y^2 des neuen Menschen y , und m stellt die Grenze des Wachstums dar, woraus folgt, daß (m-y) der mit der Zeit t abnehmende freie Lebensraum ist. [2], [3] (Stand: 2000).
Wenn man diesen Modellansatz verallgemeinert, beispielsweise so, daß auch die Exponenten anpassbar werden: dy/dt=(a+b*y^k)*(m-y)^p, dann kann dieser nur numerisch gelöst werden. Eine Parameteranpassung (a, b, m, k und p) für diesen verallgemeinerten Ansatz auf der Basis von neueren UN-Daten ergibt dann je nach der Gewichtung der zugrundeliegenden Bevölkerungsdaten das folgende Bild. Dabei fällt auf, daß der Exponent des hyperbolischen Wachstums k größer als 2 ist, und daß mit steigendem Wachstumsexponenten k die Grenze m sinkt. Während bei Annahme des hyperbolischen Wachstums mit k=2 sich eine Grenze von knapp 14.9 Milliarden Menschen ergab, siehe voriges Bild, ergibt sich nun bei einem angepassten Wachstumsexponenten von k=2.6 eine Grenze von m=13.2 Milliarden, nächstes Bild. (Zum Vergleich sei noch auf das so genannte "exponentielle Wachstum" hingewiesen, welches durch den Exponenten k=1 charakterisiert ist; bei k=1 ergibt sich kein voraussagbarer Wert für m. Da die Weltbevölkerung sich eben nicht exponentiell sondern hyperbolisch verändert, kann man ernst genommen nicht von einem "exponentiellen Wachstum der Weltbevölkerung" sprechen. Allgemein ist das exponentielle Wachstum - ohne das Begrenzungsglied (m-x) - durch dy/dx = y^1 bzw. y=yo*exp(x-xo) dargestellt. Mit dem Begrenzungsglied ergibt sich der so genannte "logistische Ansatz" dy/dx = y*(1-y), wobei m=1 gesetzt ist und y als "y"/"ymax" normiert.) [8]
Der jährliche Zuwachs der Weltbevölkerung, dy/dt=(a+b*y^k)*(m-y)^p, über der Zeitachse t aufgetragen, ergibt ein Maximum in den Jahren 1999 bis 2001, wie in folgendem Bild zu sehen ist. Die Menschheit hat hier - nicht nur im mathematischen Sinn - einen Wendepunkt erlebt, dessen Folgen, bedingt durch ein merkliches Zusammenrücken der Weltbevölkerung, in den kommenden Jahren immer deutlicher zu spüren sein werden. [2], [7]
2. Neues Modell für das Wachstum der Weltbevölkerung
Der jährliche Zuwachs der Weltbevölkerung nach dem Modell dy/dt=(a+b*y^k)*(m-y)^p war nur numerisch zu lösen. Auf der Suche nach einem integrierbaren Modell wurde dieses Modell verändert. Zunächst wurden die beiden Exponenten gleichgesetzt: dy/dt=(a+b*y^p)*(m-y)^p. Dieses Modell wurde numerisch integriert und die Parameteranpassung ergab einen neuen gemeinsamen Exponenten von p=2.96. Dieser wurde aufgerundet auf p=3.00. Zusätzlich wurden a und b neu definiert und ein Wachstumskoeffizient k vor die erste Klammer gezogen. Dadurch haben wir jetzt ein neues Modell dy/dt = k * [(a+y)*(m-y)]^3 erhalten, welches sich noch relativ einfach integrieren läßt, so dass die numerische Integration vermieden werden kann. Verglichen mit dem allerersten Modell mit dem Exponenten 2 ergibt sich erwartungsgemäß auch eine bessere Anpassung der Kurve an die vorgegebenen Weltbevölkerungszahlen. Das wird in den folgenden vier Grafiken gezeigt:
Wie man sieht, ergibt sich mit dem Exponenten p=3 auch ein niedrigerer Wert m für die Grenze des Weltbevölkerungswachstums. Hiernach wäre mit einem Grenzwert von etwa 11 Milliarden Menschen zu rechnen, der sich in ferner Zukunft einmal einstellen könnte, unter der Voraussetzung, dass sich die Wachstumsbedingungen und die Grenzbedingungen in den nächsten paar Jahrtausenden nicht wesentlich unterscheiden von denen in den vergangenen ersten 120.000 Jahren, in denen der Homo Sapiens Sapiens die Erde erforscht, erobert und bevölkert hat.
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3. Neuer Referenzpunkt für das Wachstum der Weltbevölkerung
Dieses vereinfachte und verbesserte Modell dy/dt = k * [(a+y)*(m-y)]^3 wird integriert zu t = to + F(y). Dabei wird als neuer Referenzpunkt der "Wendepunkt" gewählt. Das hat den Vorteil, dass man keinen willkürlichen Mess-Punkt wählen muss, der ja mit Messfehlern behaftet sein kann. Außerdem kann man bei Angabe von ganzen Jahreszahlen (ohne Tag und Monat) von einer Abweichung von etwa +/- 0,1 Milliarden Menschen ausgehen, da nicht angegeben ist, ob die Bevölkerung am Anfang, in der Mitte oder am Ende des Jahres gelten soll. Ferner kommen noch die Ungenauigkeiten der Erhebung hinzu; viele Bevölkerungsdaten sind einfach geschätzt. Am Wendepunkt (to;yo) gilt, dass die Funktion F(y) = 0 ist, so dass t = to + F(yo) = to ist. Und die Bevölkerung am Wendepunkt ist yo = (m-a)/2. Die zugehörige Zeit "to" wird nun den anzupassenden, zu suchenden Parametern hinzugefügt. Dadurch kann ein Fehlerausgleich der vorliegenden veröffentlichten Bevölkerungsdaten erfolgen und man zwingt die Kurve nicht durch einen willkürlich als Basis gewählten Messpunkt (wie zum Beispiel (1999;6)). Unter Hinzufügung der inzwischen vorliegenden offiziellen Schätzwerte für 2007 erhält man für den Wendepunkt folgenden realistischeren Wert: am 14. November 1994 um 00:07 lebten demnach 5 612 890 109 Menschen auf der Erde. Der jährliche Zuwachs weist am Wendepunkt ein Maximum auf. Er beträgt 94 660 550 Menschen pro Jahr, umgerechnet sind das 3 Menschen pro Sekunde mehr (Geburten abzüglich Sterbefälle). Dies ist das Ergebnis einer mathematisch geglätteten Kurve, die die tatsächlichen Messwerte als Mittelwert gut repräsentiert. Bis zu diesem Wendepunkt hatte sich die Weltbevölkerung nahezu hyperbolisch vermehrt. Seit dem Wendepunkt nimmt der jährliche Zuwachs allmählich wieder ab, dass heißt, der jährliche Anstieg der Weltbevölkerung verlangsamt sich wieder, die Krümmung der Kurve neigt sich in die entgegengesetzte Richtung, und die Kurve nähert sich in vielen hundert, ja tausenden von Jahren asymptotisch dem oberen Grenzwert von m = 11 257 509 784 Menschen. (Zurzeit leben wir aber immer noch in Nähe des Zuwachsgipfels). Mathematisch gemittelt könnte die Menschheit sich nach diesem Modell aus Sicht des Jahres 4100 wie folgt vermehrt haben:
Im Jahre 1804 lebten 1 * 10^9 Menschen
Im Jahre 1926 lebten 2
Im Jahre 1959 lebten 3
Im Jahre 1976 lebten 4
Im Jahre 1988 lebten 5
Im Jahre 1994 lebten 5,6 Wendepunkt
Im Jahre 1999 lebten 6
Im Jahre 2010 lebten 7
Im Jahre 2026 lebten 8
Im Jahre 2053 lebten 9
Im Jahre 2136 lebten 10
Im Jahre 4066 lebten 11 * 10^9 Menschen
In den folgenden beiden Grafiken ist dieser Verlauf als Kurve dargestellt, wobei die erste Grafik den Zeitraum von 600 Jahren (1700 bis 2300) umfasst, und die zweite Grafik den gesamten Zeitraum von vor ca. 120 000 Jahren bis in ca. 20 000 Jahren. In der ersteren Grafik ist zusätzlich der Zuwachs in Milliarden Menschen pro Jahr gezeigt (siehe rechte Skala). Es sollte verwundern, wenn der abrupte Anstieg von 1 auf 10 Milliarden Menschen innerhalb von etwa 330 Jahren keinen Einfluß auf unsere Umwelt hätte.
Wie man sieht, sind die Hauptparameter k, a und m in etwa gleich geblieben. Damit ist die obere Grenze des Wachstums auch unter Berücksichtigung der veröffentlichten Daten aus 2007 nicht von ihrem Wert knapp über 11 Milliarden abgewichen.
4. Weltbevölkerung mit neuen Daten von 1800 bis 2011
Seit 2011 haben wir mehr Werte nach dem Wendepunkt in 1993. Das erlaubt uns erstmals, die Parameter a, k, m und to ohne Annahmen für den Beginn anzupassen. Bisher stützten wir uns auf den Beginn vor 120 000 Jahren. Inzwischen wurden Knochen des homo sapiens vor über 200 000 Jahren gefunden. Das gewählte Modell
dy/dt= k*((a+y)*(m-y))^3
integriert: t= to +rk*(6*(a+m)^-5*LN((a+y)/(m-y)) + 3*(a+m)^-4*(1/(m-y)-1/(a+y)) +1/2*(a+m)^-3*( (m-y)^-2 -(a+y)^-2) )
findet einen optimalen Wert bei t(y=0) = -721180 Jahren. Dieser Wert entspricht einem Wert für a von etwa 0,0125. Er wurde gefunden auf der Basis von 7 Daten für 1, 2, 3, 4, 5, 6 und 7*10^9 Menschen. Der Wert ist so gut oder so schlecht, wie diese 7 Daten, und er hängt vom gewählten Modell ab. Man sollte ihm keine tiefere Bedeutung beimessen, solange man keine Funde aus der Zeit zwischen -200 000 und -1 000 000 Jahren gefunden hat. Trotzdem mag es interessant sein, mit welchen Methoden der Wert ermittelt wurde. Die Parameteranpassung wurde diesmal mit der Nelder-Mead-Methode "Downhill-Simplex" gemacht. Der Wert für a wurde bei jeder Anpassung fest vorgegeben, wobei k, m und die Integrationskonstante to mit Nelder-Mead rasch und genau ermittelt wurden.. Durch Variation von a ergaben sich jeweils andere Fehlerquadrat-Summen FQS. Diese wurden über a in folgender Grafik dargestellt und daraus der Parameter a mit dem kleinsten Fehler FQS ermittelt..JPG)
Mit den optimalen Parametern ergibt sich eine hervorragende Genauigkeit für für Weltbevölkerung zwischen 1 und 7 * 10^9 Menschen, wie in folgendem Bild dargestellt.
Die folgenden beiden Bilder zeigen jeweils den Verlauf von ca. 0,02 bis 0,25 *10^9 und von 0,25 bis 1 *10^9 Bestand der Weltbevölkerung, wie er sich aus dem erweiterten logistischen Modell dy/dt= k*((a+y)*(m-y))^3 ergibt. (Setzt man darin a=0 und den Exponenten = 1, dann erhält man das bekannte logistische Modell dy/dt=k*y*(m-y), oder mit m=1 dy/dt=k*y*(1-y). Dieses einfache Modell kann man aber nur bei anfänglich exponentiellem Wachstum anwenden. Der Bestand der Menschheit wuchs jedoch hyperbolisch, wie man in folgenden Bildern sieht, auch vor über 2000 Jahren schon, sowie im übernächsten Bild zwischen 1 und 1800.)
Die Parameter haben sich leicht verändert. Der Wendepunkt liegt jetzt bei y=5,445 und to=1993,04. Die Tragfähigkeit der Erde wird modellgemäß bei m = 10,9035 (statt 11,2575) errechnet. Die übrigen Parameter lauten: a = 0,0125092 (statt 0,03173) to = 1993,04 (statt 1994,87) rk = 292349 k=1/rk=3,42057E-06 (statt 2,9266E-06)
Von Interesse ist vielleicht noch die Abhängigkeit des modellgemäßen Ursprungs t0=t(y=0) vom Parameter a, wie in folgendem Bild gezeigt:
.JPG)
Der optimale Punkt mit dem geringsten Fehler ist bei a = 0,0125092 und t(y=0) = -721180 rot eingezeichnet. Die Zukunft wird vielleicht zeigen, ob diese modelleigenen Werte durch entsprechende Funde gestützt werden können.
Literaturhinweise:
1) Manfred Eigen, "Jenseits von Ideologien und Wunschdenken, Perspektiven der Wissenschaft", Serie Piper, Juni 1991.Seite 198, Abb. 10 2) W. W. Rostow, "The Great Population Spike and After", Reflexions on the 21st Century, Oxford University Press, 1998 3) T. W. Körner, "Mathematisches Denken", Vom Vergnügen am Umgang mit Zahlen, deutsch: Birkhäuser Verlag, 1998 (Original: "The Pleasures of Counting", Cambridge University Press, 1996) 4) Heinz von Foerster, Patricia M. Mora, Lawrence W. Amiot, "Doomsday: Friday, 13 November, A.D. 2026", At this date human population will approach infinity if it grows as it has grown in the last two millenia. Science, Vol 132, 1960 5) FAZ, "Wachstum bis zum Kollaps. Kurzer Aufschub", FAZ, 22. Januar 1992, Nr. 18, Seite N3, Zitate: Heinz von Foerster et. al., Science (132. Jg, 1960), und Stuart Umblepy, "Population and Environment" (11. Jg., 1990). - 4) und 5) sind Dokumente für ein Denken vor dem Wendepunkt! - 1) nutzt ebenfalls einfaches hyperbolisches Wachstumsmodell für die Beschreibung der Vergangenheit, weist aber darauf hin, das es für die Zukunft unrealistisch und daher nicht extrapolierbar ist. 6) FAZ, 19.02.2008, S. 41 "Selektierter Mensch", Evolution prägt weiter unser Genom, Luis Quintana-Murci (Institut Pasteur Paris) et. al. Quelle: "Nature Genetics". 7) FAS, 30.03.2008, S. 52, Thomas Straubhaar (HWWI), "Warum ist es nicht schlimm, dass es immer mehr Menschen gibt?" - Zitate daraus: "Wenn die Zukunft nur einigermaßen so verläuft wie die Vergangenheit, gibt es wenig Grund zur Angst." - Die Menschen mussten seit Jahrtausenden mit Knappheiten fertig werden und die Grenzen durch Innovationen erweitern: "Ja, sie haben nicht einmal eine Grenze für das Wachstum gesetzt." Kommentar: Dieser Satz gilt annähernd für die Vergangenheit. Richtig ist, dass die Menschen - in der Vergangenheit wie in der Zukunft - stets mit den jeweiligen Grenzen des Bekannten zum Unbekannten kämpfen müssen. Die unbekannte "Grenze" wirkt beständig auf das Wachstum ein, zunächst moderat, aber bei Annäherung an sie immer stärker, bis ein "unruhiges" Gleichgewicht erreicht ist. 8) Verhulst, 1837, logistische Gleichung: y(n+1)=k*y(n)*(1-y(n)/ymax). Daraus ableitbare logistische Funktion: dy/dx=k*y*(1-y/ymax). - Die Gleichung dy/dt=k*[(a+y)*(1-y/ymax)]^p stellt eine Verallgemeinerung der historischen logistischen Gleichung bzw. der logistischen Funktion dar. Setzt man a=0 und p=1, dann erkennt man, dass die logistische Funktion ein Grenzfall der verallgemeinerten Wachstumsfunktion ist. Setzt man in der logistischen Funktion ymax=unendlich, dann erkennt man, dass der logistische Ansatz in der Anfangsphase reines exponentielles Wachstum dy/dt=k*y darstellt. Dieser Ansatz ist geeignet für alle Populationen, die in der Anfangsphase exponentiell wachsen, das heißt mit konstanten Verdopplungszeiten. Für Populationen, die anfangs anders als exponentiell wachsen, kann zum Beispiel die verallgemeinerte logistische Funktion verwendet werden.Siehe auch "Weltbevölkerung" (Wikipedia)
Siehe auch "Verhulst" (Wikipedia) Siehe auch "Logistische Funktion" (Wikipedia)Vergleiche auch mit "World POPclock Projection" von U.S. Census Bureau
Siehe auch "Wachstumsmodelle" PDF
Siehe auch Wachstumsphasen in "World Population in Logarithmic Scale" PDF
Alternativ: Rechte Maustaste: Ziel speichern unter ... : Steueroptimierung PDF
Wachstum von Aktienkursen_ebook PDF
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